Knäckta julnötter

Redaktörns julnötter var lite knäckande i år, tycker jag nog. Till och med ordkunskapsfrågorna – som jag betraktar som min bästa gren – var knepiga. Här är lösningarna.

I. Ordkunskap: homonymer

1.a Slakteriterm (KYL, benämning på lårben av lamm eller kalv)
1.b Finns i moderna kök (KYL)

2.a Tänk 80 (VAL. Räkneord. En kast var fyra strömmingar, 20 kast var en val, dvs 80)
2.b Tänk 1988, 1991 och 1994 ( VAL. Dessa år var riksdagsval)
2.c Tänk stort (VAL. Största däggdjuret)

3.a Viktigt för kockar (LAG. Behövs i marinader mm)
3.b Viktigt för fanatiker (LAG. Inte minst för Stockholms fotbollsfans)
3.c Viktigt för riksdagsledamöter (LAG. Riksdagens främsta uppgift är att stifta lag)

4.a Dröm för flicka ( BAL. Så underbart…säger Askungen)
4.b Dröm för kossa (BAL. Som i höbal)

5.a Mardröm för vattenvarelse (DRAG)
5.b Önskade bisarr greve (DRAG. Ian Wachmeister önskade ”drag under galoscherna”)

6.a Beundrad för sin styrka (RAM. Björnen är fruktad för sina starka ramar)
6.b Ofta mer värdefull än innehållet (RAM. På bondauktioner är ofta ramen mer värd än tavlan)

7.a Inget för den köpmedvetne (KRAM)
7.b Tillåtet för män på fotbollsplan (KRAM)

8.a Ingår i lekamen (VAD. En kroppsdel)
8.b Populärt i England (VAD. Spel om pengar)
8.c Förvillar spårhundar (VAD. Flyktingar som korsar vadställe kan lura förföljande hund)

9.a Gillar militärer (LED)
9.b Finns i fjällen (LED. Som i Kungsleden)
9.c Motoriskt oumbärlig (LED utan dem kan vi inte röra oss)

10.a Kan man räkna med (KAST= 4)
10.b Ingick i skolgymnastik (KAST med liten boll var en egen gren)
10.c Också en hierarki (KAST. Indisk klassindelning)
10.d Flugig förbindelselänk (KAST. Den tafs som förbinder flugspölina med fluga)
10.e För blytunga typer (KAST. Låda för förvar av blytyper)

På homonym nummer sex har en fyndig nötknäckare föreslagits ASK, som egentligen är en ännu bättre lösning. Träslaget ask är ju känt för sin styrka, används bland annat för att tillverka spjut. Och askar är ofta mycket mer värdefulla än det de innehåller.

II. Ren och skär logik – och konsten att avslöja lögner

1. En pojke och en flicka bekantar sig med varandra.
– Jag är en pojke, säger barnet med mörkt hår.
– Jag är en flicka, säger barnet med blont hår.
Åtminstone ett av barnen ljuger.

Fråga: Vilken färg på håret har pojken och vilken färg på håret har flickan?
RÄTT SVAR: Pojken har blont hår, flickan mörkt hår. Om man testar de olika alternativen – pojken ljuger/flickan ljuger/båda ljuger – ser man att gåtan bara kan lösas om båda barnen ljuger.

2. Du har framför dig tre tygpåsar om vilka du vet att var och en innehåller två ädelstenar. I en påse är båda ädelstenarna röda, i en påse är båda gröna och i en påse är en ädelsten röd och en ädelsten grön. Du vet att de röda ädelstenarna är 100 gånger mer värdefulla än de gröna. Du får ta två ädelstenar ur påsarna och behålla dem. Men hur ska du gå tillväga?

Du plockar först ur en slumpmässigt vald påse ut en ädelsten och den visar sig vara röd.

Ur vilken påse ska du nu plocka ut nästa ädelsten för att med största sannolikhet maximalt öka din rikedom? Eller spelar det ingen roll för din chans till maximal rikedom ur vilken påse du drar din nästa sten?

RÄTT SVAR: Sannolikheten till maximal rikedom är att du tar nästa ädelsten ur samma påse du dragit din första sten. Du har då 2/3 chans att få en röd ädelsten. Om du byter till en annan påse minskar din chans till 1/2.

Förklaring. Du vet att du inte kan ha dragit den första stenen från påsen med två gröna ädelstenar. Om du håller fast vid den påse du valde först finns tre möjligheter.

1. Du valde först påsen med två röda ädelstenar. Du drog sten röd nr 1. Kvarvarande är då röd nr 2.
2. Du valde först påse med två röda ädelstenar. Du drog sten röd nr 2. Kvarvarande är då röd nr 1.
3. Du valde först påsen med en grön och en röd sten.

Som synes kommer du två gånger av tre att maximera din vinst.

3. Statens finansinspektion har upptäckt en olaglig spekulation mot den svenska kronan. En undersökning visar att en av tre storbanksdirektörer måste vara skyldig. Av utredningen framgår att bara en av dem kan tala sanning, medan de två andra två måste ljuga konsekvent av olika skäl. På utredarens direkta fråga om vem som har svindlat den svenska staten får han följande svar:

Kalle Kulor: ”Jag är oskyldig”.
Girige Herbert: ”Jag är oskyldig”.
Förslagne Doris: ”Girige Herbert är den skyldige”.

”Tack för de svaren”, säger utredaren och ber sina polisassistenter arrestera en av de misstänkta direktörerna som skyldig till svindeln. Och du vet väl också vem som är skurken i detta drama?

RÄTT SVAR: Kalle Kulor är den skyldige.

Förklaring. Antag Girige Herbert är skyldig. I så fall talade både Kalle Kulor och Förslagne Doris sanning. Följaktligen var det inte Herbert. Antag istället att Förslagne Doris är skyldig. Isåfall talade både Kalle Kulor och Girige Herbert sanning. Följaktligen var det inte Doris. Antag slutligen att Kalle Kulor är skyldig. I så fall talade endast Girige Herbert sanning. Det stämmer med förutsättningarna ovan och alltså är Kalle den skyldige.

4. Du har just levt klart och befinner dig nu i Sankte Pers väntrum för att slussas vidare till antingen Paradiset eller Helvetet. Men Paradiset håller på att bli överbefolkat så Sankte Per har föranstaltat en liten test för applikanterna.

I väntrummet som du förts in i finns bara två utgångar varav den ena leder till Paradiset och den andra till Helvetet. Men du vet inte vilken utgång som leder vart. Varje utgång vaktas av en dörrvakt varav den ena konsekvent ljuger och den andra konsekvent talar sanning. Men du vet inte vilken.  Du har därmed ingen aning om det är lögnaren som vaktar dörren till Paradiset eller om det är sannıngssägaren.

Sankte Per säger att du får bara ställa en enda fråga som kan besvaras med enbart ja eller nej till en av dörrvakterna för att ta reda på dörren till Paradiset. Han påpekar att de båda dörrvakterna är införstådda med valsituationens villkor. Du svarar gnälligt att uppgiften är omöjlig att lösa eftersom du varken vet vilken av dörrvakterna som ljuger eller vart dörrarna går. Sankte Per skrattar gott och säger att en enda fråga räcker, men vem har sagt att det ska vara lätt att komma till Paradiset. Och om du tänker efter noga kommer du nog på den enda möjliga frågan.

RÄTT SVAR. Du måste ställa en fråga som involverar båda vakterna. Så här till exempel: ”Vad svarar din kollega om jag frågar honom om din dörr leder till Helvetet?” Det finns fyra möjliga kombinationer av dörrar och vakter.:

1. Vakten du vänt dig till är sanningssägare och vaktar dörren till Helvetet. Hans svar på frågan blir NEJ (eftersom han vet att kollegan som ljuger skulle svara detta)
2. Vakten du vänt dig är lögnare och vaktar dörren till Helvetet. Han svar på frågan blir NEJ (eftersom han vet att den andre vakten som talar sanning skulle sagt ja)
3.  Vakten du vänt dig till är sanningssägare och vaktar dörren till Paradiset. Hans svar på frågan  blir JA (eftersom han vet att lögnaren skulle svarat ja)
4.  Vakten du vänt dig till är lögnare och vaktar dörren till Paradiset. Hans svar på frågan blir JA (eftersom han vet att sanningssägaren skulle ha svarat nej).

Av dessa möjliga svar kan du dra slutsatsen att vid ett JA-svar står du framför dörren till Paradiset. Vid ett NEJ-svar står du framför dörren till Helvetet. Du behöver följaktligen inte känna till om du vänt dig till sanningssägaren eller lögnaren för att lista ut vilken dörr du ska välja. (Logiken i denna lösning är att dubbla negationer tar ut varandra, ungefär som vi matematiken fick lära -1 x -1 = +1)

5. A och B är två siffror mellan 0–9, inte nödvändigtvis olika. De två logiskt begåvade syskonen Karin och Gunnar försöker klura ut vilka siffrorna är. Karin känner till siffrornas summa och Gunnar känner till siffrornas produkt.

Följande samtal äger rum:

Karin: ”Jag vet inte vilka siffrorna är.”
Gunnar: ”Inte jag heller, men jag visste att du inte kunde veta det.”
Karin: ”Vad bra, nu vet jag vilka de två siffrorna är!”
Gunnar: ”Jag med!”

Vilka är de två siffrorna?

RÄTT SVAR. A = 2 och B = 2.

Det här är en av de svåraste gåtor jag känner till. Men faktum är att varje yttrande av Karin och Gunnar ger oss lite extra information så att vi logiskt kan räkna ut lösningen. Så här ska man resonera.

(i)  ”Jag vet inte vilka siffrorna är”.

Det här säger oss att Karins summa inte kan vara 0, 1, 17 eller 18. (Om den vore det skulle nämligen Karin känna till båda siffrorna. Summan 0 är ju lika med 0+0, summan 1 är lika med 0+1, summan 17 lika med 8+9 och summan 18 lika med 9+9).

(ii)    ”Inte jag heller, men jag visste att du inte kunde veta det”

Detta ger oss mer information. Gunnar kan bara ha någon av produkterna 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24 och 36. Om Gunnar haft någon annan tänkbar produkt skulle han redan ha vetat siffrorna (exempelvis kan produkten 5 bara uppstå med multiplikationen 1 x 5, produkten 7 med 1 x 7, osv. Testa vidare själv). Observera att Gunnar inte kan ha produkten 0 (som ju uppstår när 0 multipliceras med vilken siffra som helst). Om han haft det skulle han nämligen inte kunnat påstå att han visste att Karin inte kunde känna till siffrorna. Gunnar kan ju i detta fall inte utesluta att Karin haft summan 0, vilket skulle inneburit att hon hade känt till siffrorna från början, se (i) ovan.

(iii)     ”Vad bra, nu vet jag vilka de två siffrorna är”

Karins vetskap ger oss viktig information. Hon upplyser ju oss om att av hennes tänkbara siffror finns bara en kombination som ger någon av produkterna i (ii) ovan. En genomgång av summorna visar dessa måste vara 4, 12 eller 13 vilka entydigt pekar på produkterna 4, 36 och 36.  (Om till exempel summan varit 5 kan ju Karin inte veta om produkten var 4 (1×4) eller 6 (2×3). Samma mångtydighet gäller alla andra summor utom 4, 12 eller 13.)

Vi kan därför dra slutsatsen att Karin måste ha endera av sifferkombinationerna (2,2), (6,6) eller (4,9). (Varje kombination svarar mot en bestämd summa och det är därför Karin redan nu vet svaret. Observera att Karin vet att summan fyra inte kan uppstått genom 1+3, ty de siffrorna ger produkten 1 x 3 = 3, och om så vore fallet skulle Gunnar redan känt ha till siffrorna vilket han ju inte gör).

(iiii)       ”Jag med!”

Gunnar kan enligt (iii) bara ha produkten 4 eller produkten 36.  Men om han haft produkten 36 kunde han inte varit säker på vilka siffrorna varit; de kunde ju uppstå genom multiplikationen 6 x 6 eller genom multiplikationen 4 x 9. Men eftersom Gunnar nu är säker på svaret måste han ha produkten 4. Denna produkt kan bara ha uppstått genom multiplikationen 2 x 2, eftersom multiplikationen 1 x 4 inte är möjlig för då skulle Karin haft summan 5 och enligt (iii) ovan inte kunnat ha känt till lösningen.

Gunnar kan alltså nu veta att rätt svar är A=B=2. Och det kan du också veta om du förstått hur Gunnar kommit fram till denna slutsats.

III. Optiska villor, andra villor och lite fysik

1. Varje julnötstävling bör innehålla ett tändsticksproblem. I uppställningen nedan är uppgiften att flytta en enda sticka så du får en korrekt ekvation (åtminstone om du nöjer dig med två decimaler).

Vilken sticka vill du flytta och varthän?

RÄTT SVAR. Du flyttar den högra stickan i talet XXIII till andra sidan likhetstecknet och lägger stickan vågrätt över II på så sätt att symbolen för talet pi bildas. Ekvationen blir då 22/7 = pi.

Med två decimaler är  22/7 lika med 3,14 vilket också är pi skrivit med två decimaler.

2. Två pojkar vill ta sig över en å. Båda pojkarna är dåliga simmare och skulle drunkna om de försökte ta sig simmande över ån. Enda sättet att ta sig över är därför att använda en liten båt, som bara kan ta en person åt gången. Båten kan inte återvända på egen hand och den dras inte med rep eller andra anordningar, ändå lyckas de båda pojkarna ta sig över ån. Hur förklarar du det?

RÄTT SVAR. Pojkarna befann sig på var sin sida av ån.

3. En gurka består till 99% av vatten. Efter att ha legat i solen på ett bord ett längre tag består den bara till 98% av vatten. Hur mycket väger gurkan nu om den från början vägde ett kilo?

RÄTT SVAR. Gurkan väger 1/2 kg eller 500 gram.

Intuitivt känns svaret överraskande. När gurkan till 99% bestod av vatten var den fasta massan 10 gram. När gurkan består av 98 procent vatten ska de fasta massan om 10 gram följaktligen utgöra 2 procent av gurkans vikt. Om vi antar att den skrumpna gurkans vikt är X kan vi ställa upp följande ekvation 2/100 x X = 10 vilket ger X = 100 x 10/2 vilket ger X = 500.

4. Erik kör sin motorcykel ett varv (= 1 km) på en motorbana i 30 km/t. Han ska köra ett varv till och vill efter det varvet ha kört de båda varven med en medelhastighet av 60 km/t. Hur fort måste han köra det andra varvet för att teoretiskt klara av uppgiften? (OBS. Svaret är INTE 90 km/t).

RÄTT SVAR. Detta betyder ju att Erik vill köra två varv på exakt samma tid som det första, dvs att han ”teoretiskt” måste köra det andra varvet på ingen tid alls, dvs med oändligt hög hastighet. Eftersom enligt Einstein inget kan färdas fortare än ljuset är detta ännu så länge omöjligt.

5. Betrakta de två trianglarna nedan. De är byggda av samma färgglada bitar, men i den nedre triangeln har smugit sig in en vit kvadrat. Kan du förklara hur den har uppstått?

___________________________________________________________________________________

RÄTT SVAR. Hypotenusan i de båda trianglarna är inte riktigt rät. I den övre triangeln buktar hypotenusan lätt inåt och i den nedre buktar den lätt utåt. Den lilla skillnaden ger det utrymme som behövs för att skapa den vit fyrkanten i den nedre triangeln. (Om man skriver ut figuren på papper och tittar på utskriften snett från sidan går att se att linjerna buktar).

Årets vinnare, som får ett exemplar av Det tänkande hjärtat av Yvonne Hirdman, är familjen Ehlin-Kolk som lyckades knäcka 18 av 20 nötter, med hjälp av grupparbete som också involverade andra än den omedelbara familjen. Kudos!