Knäckta!

Här kommer de utlovade svaren på julnötterna. Snabbast var syskonen Martin, Maria och Karin Ehlin Kolk. Efter en dag hade de med benäget bistånd av sina kusiner knäckt alla nötter. Duktigt!

Julnöt nr 1

Rätt svar: Johanna.

En enkel men rolig nöt. Inte minst därför att barn i tioårsåldern älskar den när de lurar kamraterna att automatiskt svara ”juli”. Och sedan är ju gåtan rätt elegant genom att redan de två första orden ”Johannas mamma” innehåller svaret.

Julnöt nr 2

Rätt svar: pojkarna var trillingar (eller fyrlingar osv).

Julnöt nr  3

Rätt svar: 4200.

För att förklara orättvisan att kvinnliga låntagare i Sala fick fler böcker än manliga låntagare har jag lagt in lite överflödig information om att det är fler kvinnor som läser böcker, vilket i och för sig är sant om vi får tro sociologerna.

Men denna information är inte bara ovidkommande, den tenderar också att leda tanken fel. Såsom gåtan är formulerad finns inget sätt att ta reda på hur många av av de totalt 1400 låntagarna som är kvinnor och som är män. Den uppgiften behöver vi inte heller, men det finns så vitt jag vet inget förbud att lägga in obehövlig information i gåtor.

Vad vi vet är att av hälften av alla kvinnor tog emot sina 6 erbjudna böcker. Det betyder att kvinnorna i snitt tog ut 3 böcker.

Vi vet också att av tre fjärdedelar av männen tog ut sina 4 erbjudna böcker. Det betyder att varje man i snitt också tog ut 3 böcker, precis lika många som kvinnorna. Och därmed vet vi också att snittuttaget för alla låntagare var  3 böcker. Vi behöver helt enkelt inte känna till andelen kvinnliga och andelen manliga låntagare. Rätt svar är därför  att biblioteket i Sala skänkte bort 3 x 1400 = 4200 böcker. Och som det heter i högskoleprovet ”all information för problemets lösning” fanns i texten.

Julnöt nr 4

Rätt svar: Lösningen är att dra de fyra raka strecken utanför det ”staket” eller ”inramning” som de nio punkterna ger. Så länge man försöker dra strecken innanför inramningen är gåtan omöjlig att lösa. Man måste bryta sig ut.

En del nötknäckare har påpekat att det är en gammal gåta. Ja, det är den och har man sett den tidigare är den förstås lätt att lösa. Men är det första gången man möter den brukar den kunna vålla åtskilligt huvudbry. Ursprungligen lär nöten ha ingått i ett psykologiskt test. Den som inte alls lyckades hitta lösningen ansågs vara konventionell och ha svårt för att bryta med invanda tankesätt.

Den som omedelbart såg lösningen ansågs vara gränsöverskridande på ett närmast patologiskt sätt. Enligt psykologerna…

Jullnöt nr 5

Rätt svar: En ubåt (eller möjligen en flygbåt).

Här gällde det att tänka i tre dimensioner. På en plan yta (eller lätt välvd som ett hav) går inte att placera ut fyra vanliga båtar med samma inbördes avstånd.

Ett sätt att illustrera svårigheten är att försöka placera ut fyra juläpplen på köksbordet på samma inbördes avstånd. Först när vi håller det fjärde i luften som övre hörnet i en liksidig pyramid kan vi bilda avstånd som är lika stora mellan alla äpplena. En mer apart lösning är att alla fyra båtarna är på väg att sjunka på djupt vatten. Till exempel kan man tänka sig att de blivit torpederade av ett beväpnat sjörövarskepp, som i sin tur förliste när oljetankern råkade ramma det.

Julnöt nr 6

Det finns säkert flera lösningar på hur man kan förena egenintresse med altruism. Men den här föredrar jag: Du hjälper in den gamla damen på bilens passagerarplats, lämnar bilnycklarna till din gamle vän och ber honom köra damen hem, medan du själv stannar i busskuren och återupptar kontakten med din ungdomskärlek. Om hen blir lite rörd av din omtanke, kanske återföreningen kan få ett för er båda trevligt slut; om hen inte blir det är ju ingen skada skedd och du kan trösta dig med att i alla fall gjort en god gärning.

Julnöt nr 7

Rätt svar: Barnen är 2, 2 och 9 år och gatunumret är 13. En del nötknäckare har undrat om det inte finns tre lösningar eftersom det finns tre möjligheter att två av de yngre barnen är tvillingar. Och att det bara är statistikern som känner till gatunumret som kan veta vilken av möjligheterna som gäller. Låt oss ta det steg för steg. Produkten 36 för de tre barnens åldrar kan uppstå på åtta möjliga sätt:

1 x 2 x 18   (21) Inom parentes anges summan av åldrarna

1 x 3 x 12   (16)

1 x 4 x 9   (14)

2 x 3 x 6  (11)

3 x 3 x 4  (10)

1 x 1 x 36   (38) Här kan man tala om sladdbarn

1 x 6 x 6   (13)

2 x 2 x 9   (13)

Utmärkande för de sex översta möjligheterna är att summan av åldrarna bildar ett i sammanhanget unikt  tal. Om barnen ingått i någon av dessa sex möjligheter hade statistikern aldrig efter Pontus andra svar behövt påpeka att han fortfarande saknade tillräcklig information för att veta barnens åldrar. Då hade han direkt kunnat tacka Pontus för att han nu visste barnens åldrar. Och statistikern ägnar sig inte åt onödigt prat som jag skrev i en ledtråd. Men genom att meddela oss i sin tredje replik att han fortfarande hade otillräcklig information berättar statistikern för oss att gatunumret måste vara 13. Det är ju de två enda kvarstående möjligheterna.

Därefter fick han av Pontus beskedet att de två yngre barnen var tvillingar. Han kan då dra slutsatsen att barnens åldrar är 2, 2, och 9 år och samma slutsats kan vi dra. Hade beskedet istället varit att de två äldre var tvillingar hade svaret varit 1, 6 och 6.

För att komma på denna lösning behöver vi inte känna till gatunumret; det räcker ju med att vi vet att statistikern känner  till gatunumret.

Julnöt 8

Rätt svar: Den ensamstående mamman har två flickor.

Föregående nöt handlade om hur en statistiker stegvis inhämtade precis så mycket information han behövde. Här är det tvärtom: för mycket information hade omöjliggjort gåtan! På journalistens frågor har mamman bara gett ytterst knapphändiga svar. Hon har talat om att hon har två barn i olika åldrar och att ett av barnen är en flicka. Hon har dock inte talat om för oss om flickan är det yngsta eller äldsta barnet. Och på frågan om det andra barnet är en flicka eller pojke har hon svarat att könet på det andra barnet har det minst sannolika givet att hon har en flicka vars ålder vi inte känner till.

Det finns fyra möjligheter som mamman kunnat få sina två barn:

A. Hon fick en äldre pojke och sedan en yngre pojke.

B. Hon fick en äldre pojke och sedan en yngre flicka.

C. Hon fick en äldre flicka och sedan en yngre pojke.

D. Hon fick en äldre flicka och sedan en yngre flicka.

Möjligheten A kan vi sortera bort direkt. Vi vet ju att hon har en flicka.

Återstår de tre möjligheterna B, C och D. Chansen att något av dem inträffar är 1 gång på 3. Sannolikheten för vart och ett alltså1/3.

I två av fallen – B och C – skulle hennes andra barn vara en pojke.  Sannolikheten för att hennes andra barn är en pojke är därmed 2/3.

I fall D skulle hennes andra barn vara en flicka. Sannolikheten för detta är 1/3. Rätt svar är alltså att hennes andra barn är en flicka, eftersom detta var det minst sannolika.

Antag nu att vi i förväg fått veta han hennes äldsta barn var en flicka. Då hade bara möjligheterna C och D återstått. Och eftersom C innebär en pojke och D en flicka så går inte längre göra en sannolikhetsbaserad gissning om vilket kön det andra barnet har, chansen är ju 50/50.  För mycket information kan också förstöra en gåta, vilket är en underlig konsekvens av sannolikhetsläran.

Julnöt 9

Rätt svar: Det är tysken som har en guldfisk.

Vad som är bäst tillvägagångssätt för att knäcka denna nöt vågar jag inte ha någon mening om. Jag tror det finns flera vägar fram till samma svar. Enklast förefaller mig vara att börja med påstående nr 9 att norrmannen bor i det första huset. Därmed kan man placera norrmannen i ett hörn (jag valde det översta). Därefter placerade jag in den blå färgen i påstående 14 närmast norrmannen. Och eftersom norrmannen låg högst finns bara en tänkbar ruta för en blå färgen. Och så där får man gå på om man inte heter Einstein och kan hålla allt i huvudet (fast ibland tvivlar jag på att han verkligen gjorde det).

Jag visar en uppställning över rätt svar. Var och en kan pricka av placering av färger, rökverk, drycker och djur mot de 15 påståendena och kolla att allt stämmer.

Jag har gjort det flera gånger för att vara säker på att jag skrivit ut texten riktigt och en ännu bättre garanti är att flera nötknäckare kommit fram till samma lösning.